Practica por temas

Se emite un rayo láser desde el punto $P = (1, 2, 8)$ en la dirección del vector $\vec{v} = (1, 2, -3)$. El plano $-x - y + 3z = -8$ determina la posición de una lámina de grandes dimensiones.

En una feria, un participante tiene la oportunidad de ganar premios eligiendo entre tres cajas sorpresa: una con premio y dos vacías. Hay una regla especial si se selecciona una caja vacía: En caso de elegir una caja sin premio, se debe extraer una bola al azar de una urna compuesta por 2 bolas verdes y 3 negras, de idéntica forma y tamaño. Si se elige la bola negra, finaliza la jugada sin premio. Si se elige la bola verde, tendrá la oportunidad de elegir una nueva caja, de las dos cajas no seleccionadas anteriormente, y acabaría la jugada.

Determine los números reales $a$ y $b$ sabiendo que el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} ax + by + 3z = 2 \\ x + 2y - z = 0 \\ 3x - y + z = 1 \end{cases}$$ tiene al menos dos soluciones distintas.

Dada la recta $\begin{cases} 2x - y + 3z = 2 \\ x + z + 1 = 0 \end{cases}$, calcule la ecuación general (es decir, de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$) del plano perpendicular a la recta que pasa por el punto $P = (1, 0, -1)$.