Practica por temas

Una empresa está trabajando en el diseño de unas cápsulas de café. La empresa ha construido la sección transversal de las cápsulas inscribiéndola en una semicircunferencia de radio 1, trazando a continuación una cuerda $CD$ paralela al diámetro $AB$ e incorporando el punto $E$ en el punto medio del arco $CD$. De esta manera queda trazado el pentágono $ACEDB$, tal como se muestra en la figura.

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a - 1 \\ 1 & a & 1 \\ 4 & 3a & 1 \end{pmatrix}$, en la que $a$ es un parámetro real.

La suma de 25 múltiplos seguidos de 13 es 7150. ¿Cuál es el primer múltiplo de 13 que aparece en dicha suma? ¿Cuál es el último múltiplo de 13 que aparece en dicha suma?

Calcule el siguiente límite: $$\lim_{x \to 1} \left(\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{2} x\right)\right)^{\frac{1}{(1 - x)^2}}.$$

De la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ae^x - bx$, donde $a, b \in \mathbb{R}$ se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en $x = 0$ y que $\int_{0}^{1} f(x) dx = e - \frac{3}{2}$. Halla los valores de $a$ y $b$.