Practica por temas

Dados los vectores $\vec{u} = (-1, 0, -2)$, $\vec{v} = (a, b, 1)$ y $\vec{w} = (2, 5, c)$, halla razonadamente el valor de $a, b$ y $c$ para que los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean ortogonales y para que el vector $\vec{w}$ sea igual al producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Determina razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P(-1, 3, 1)$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv x + y + 2z - 3 = 0$. Comprueba si los puntos $Q(1, 5, 5)$ y $R(0, 4, 2)$ pertenecen o no a la recta.

Enuncie los teoremas de Rolle y del valor medio del cálculo diferencial.

Explique si $f: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ está o no en las hipótesis del teorema del valor medio del cálculo diferencial. En caso de que lo esté, calcule un valor $c$ para el cual se cumpla la tesis de ese teorema.

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Indique las abscisas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifique estos extremos.

Enuncie el teorema de Rolle.

Calcule el área de la región encerrada por las gráficas de $f(x) = x + 6$ y $g(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } x < 0, \\ x^2 & \text{si } x \geq 0. \end{cases}$

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$, calcule las potencias $A^2$, $A^3$ y $A^4$.

Calcule $A^{2012}$.