Practica por temas

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & a & 3 \\ 2a & 5 & 3a \\ 7 & 4a & 9 \end{pmatrix}$, que depende del parámetro $a$.

Se desea construir un depósito cilíndrico de $100\,\text{m}^3$ de capacidad, abierto por la parte superior. Su base es un círculo en posición horizontal de radio $x$ y la pared vertical del depósito es una superficie cilíndrica perpendicular a su base. Obtener razonadamente:

Se quiere construir un estadio vallado de $10000$ metros cuadrados de superficie. El estadio está formado por un rectángulo de base $x$ y dos semicírculos exteriores de diámetro $x$, de manera que cada lado horizontal del rectángulo es diámetro de uno de los semicírculos. El precio de un metro de valla para los lados verticales del rectángulo es de $1$ euro y el precio de un metro de valla para las semicircunferencias es de $2$ euros. Se pide obtener razonadamente:

Resuelva la ecuación matricial $AX + 2B = C$; siendo $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 9 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}.$$

Sea el polinomio $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ del cual sabemos que $f(0) = 1$, $f(1) = 0$ y que tiene extremos relativos en $x = 0$ y $x = 1$. Calcular $a, b, c$ y $d$.