Practica por temas

Dada la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$, determina $a$, $b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en $(1,0)$, y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación $y = -3x + 3$.

De la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ae^x - bx$, donde $a, b \in \mathbb{R}$ se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en $x = 0$ y que $\int_{0}^{1} f(x) dx = e - \frac{3}{2}$. Halla los valores de $a$ y $b$.

Dibuja dos vectores y el vector diferencia de ambos. Calcula el ángulo que forman dos vectores distintos $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que tienen el mismo módulo que el vector diferencia de ambos $\vec{u} - \vec{v}$. (Puede serte útil el dibujo previo.)

Calcular $a$, $b$ y $c$ para que la función $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ cx & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \end{cases}$ cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0, 4]$.

Las ventas de un determinado producto vienen dadas por el siguiente modelo: $$V(t) = \frac{5t^2}{8 + t^2}, \qquad t \geq 0$$ Donde $V(t)$ son las ventas en miles; $t$ mide el tiempo desde que se inicia la venta del producto, en meses.