Practica por temas

Compruebe si los vectores $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo: $$\vec{v}_1 = 2\vec{u}_1 - \vec{u}_2, \quad \vec{v}_2 = \vec{u}_1 + \vec{u}_3, \quad \vec{v}_3 = \vec{u}_4.$$

Calcule las siguientes expresiones: $$(2\vec{u}_1 - \vec{u}_2) \cdot (2\vec{u}_1 - \vec{u}_2), \qquad (\vec{u}_4 - \vec{u}_1) \times (\vec{u}_4 - \vec{u}_1),$$ siendo $\cdot$ y $\times$ los productos escalar y vectorial de dos vectores respectivamente.

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^3$ perpendiculares entre sí y $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ su producto vectorial. Se definen $\vec{a} = (\vec{u} \times \vec{v}) + \vec{w}$, $\vec{b} = \vec{v} \times (\vec{v} \times \vec{w})$ y $c = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$. Indica si $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $c$ son vectores o escalares (números). Para aquellos que sean vectores, justifica si son paralelos o perpendiculares a cada uno de los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$.