Practica por temas

Sea $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $g(x) = -x^2 + 6x - 5$.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} ax + y - 2z = 1 \\ 3ax + a^2y - 2a^2z = 3 \\ -ax - y + (a^2 - 1)z = a + \sqrt{3} - 1 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Dados los puntos $A(1, \lambda + 1, -1)$, $B(2, \lambda, 0)$ y $C(\lambda + 2, 0, 1)$, se pide:

Calcule una primitiva $F(x)$ de la función $$f(x) = \frac{-2x}{e - x^2} - 2x e^{1 - x^2} + 2x \cos(x^2)$$ que cumpla $F(0) = 1$.

Con objeto de reducir el coste, una cooperativa de aceite quiere diseñar unos envases con forma de prisma de base cuadrada con un volumen de $1\,\text{dm}^3$ (tal como se muestra en la figura adjunta) pero que tengan la mínima superficie.