Practica por temas

Considera la función $f(x) = \frac{x}{e^x}$.

Sean los vectores $\vec{u} = (4, 3, \alpha)$, $\vec{v} = (\alpha, 1, 0)$ y $\vec{w} = (2\alpha, 1, \alpha)$ (con $\alpha \in \mathbb{R}$).

Halle todos los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ en los que su recta tangente sea paralela a la recta de ecuación $2x - y = 0$.

Una fábrica produce diariamente $x$ toneladas de un producto A y $\frac{40 - 5x}{10 - x}$ toneladas de un producto B. La cantidad máxima de producto A que se puede producir es 8 toneladas. El precio de venta del producto A es $100$ € por tonelada y el del producto B es $250$ € por tonelada.

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(3, 1)$ y tal que el área del triángulo formado por esta recta y los semiejes positivos coordenados sea mínima.