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Definición de derivada de una función en un punto. Demostrar que la derivada de la función $f(x) = x^2$ es $f'(x) = 2x$.

Se divide un alambre de $100\,\text{m}$ de longitud en dos segmentos de longitud $x$ y $100 - x$. Con el de longitud $x$ se forma un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea $f(x)$ la suma de las áreas. ¿Para qué valor de $x$ dicha suma es mínima?

Se dan la recta $r: \frac{x - 1}{4} = \frac{y}{a} = \frac{z - 1}{-1}$ y el plano $\pi: 2x - y + bz = 0$, siendo $a$ y $b$ dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

En el espacio se dan las rectas $r: \begin{cases} x + z = 2 \\ 2x - y + z = 0 \end{cases}$ y $s: \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x - y - z = 2 \end{cases}$. Obtener razonadamente:

Dada la función: $$f(x) = \begin{cases} \frac{\operatorname{sen} x}{x}, & \text{si } x < 0 \\ xe^x + 1, & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ se pide: