Practica por temas

Comprobar que las rectas $$r: x + 1 = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{3}$$ y $$s: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$$ no se cortan y no son paralelas. Calcular la distancia entre ellas.

Se da la función $f$ definida por $f(x) = \frac{1}{x^2 - 5x + 6}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} x + 2y + 2z = 1 \\ x + (a + 1)y - z = 1 \\ -2x - (2a + 2)y + (a^2 - 2)z = a \end{cases}$$

**Problema 3A.** *(Propuesto por la Comunidad Valenciana, julio 2023)* Sean el plano $\pi \equiv 5x + my + z = 2$ y la recta $r \equiv (x,y,z) = (1,1,0) + t(-1,-1,2)$, $t \in \mathbb{R}$. a) Determinar la posición relativa de $r$ y $\pi$ en función de $m$. **(1.5 puntos)** b) Para $m = 1$ calcular el plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. **(1 punto)**

Sean $a$ y $b$ dos constantes reales no nulas. Consideramos el plano $\pi : x + ay - 2z = 3$ y la recta $$r: \begin{cases} x + bz = 1 \\ y = 0 \end{cases}$$