Practica por temas

Se quiere construir un cilindro de volumen $250\pi$ metros cúbicos y área mínima.

Calcular los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) para los cuales la función \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\), tiene extremos relativos en \(x = 0\) y \(x = 2\) y además la gráfica de \(f(x)\) corta al eje de abscisas para \(x = 1\).

Calcular los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} a(x^2 - 9) + \frac{bx}{3} - b, & x < 3 \\ \ln(b(x - 2)), & x \geq 3 \end{cases}$$ sea derivable.

Dada la función $$f(x) = \sen(\pi 2^x) + \cos(\pi x)$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{1}{3}$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.