Practica por temas

Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} \lambda & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & \lambda \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$ y $F = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, se pide:

Calcular el valor de la siguiente integral definida: $$\int_{1}^{e} x^2 \ln(x) \, dx$$

Halla todas las matrices $2 \times 2$, que denotamos $A$, que cumplen $$A^2 = 0, \quad (1, 1) \cdot A = 0$$ ($0$ denota una matriz nula, $A^2 = A \cdot A$.)

Un campo de juego quiere diseñarse de modo que la parte central sea rectangular de base $y$ metros y altura $x$ metros, y las partes laterales sean semicircunferencias (véase dibujo). Su superficie se desea que sea de $4 + \pi \text{ m}^2$. Se debe pintar el perímetro y las rayas interiores de modo que la cantidad de pintura que se gaste sea mínima (es decir, su longitud total sea mínima). Halle $x$ e $y$ de modo que se verifique este requisito.

Sigui f'(x) = 3x² − 12x la derivada d'una funció f(x).