Practica por temas

Enuncia el Teorema de Rouché-Fröbenius.

Razona que el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} x + 3y - 3z = 4 \\ 2x - y + z = 1 \\ 3x + 2y - az = 5 \end{cases} \qquad a \in \mathbb{R}$$ no es incompatible para ningún valor $a \in \mathbb{R}$.

Resuelve el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.

Determina los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A + \lambda I$ no tiene inversa ($I$ es la matriz identidad).

Resuelve $AX = -3X$. Determina, si existe, alguna solución con $x = 1$.

Determine los valores del parámetro $k$ para los que la matriz $A - k I$ tenga inversa, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3.

Encuentre la matriz $X$ que verifica que $(A - 3 I) X = 2 I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3 y $A$ la matriz que aparece al comienzo del enunciado.

Si el producto de dos matrices cuadradas $A$ y $B$ es conmutativo, es decir que $AB = BA$, entonces se deduce que $A^2 B^2 = (AB)^2$.

Que la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 10 \\ 0 & -3 & 7 \end{pmatrix}$ satisface la relación $A^2 - 3A + 2I = O$, siendo $I$ y $O$, respectivamente, las matrices de orden $3 \times 3$ unidad y nula, (4 puntos), y que una matriz $A$ tal que $A^2 - 3A + 2I = O$ tiene matriz inversa. (2 puntos)

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, los valores $\alpha$ y $\beta$ tales que $A^3 = \alpha A + \beta I$, sabiendo que la matriz verifica la igualdad $A^2 - 3A + 2I = O$.

Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $k$.

Resuelva el sistema para el caso $k = -1$.