Practica por temas

Discute el rango de $A$ según los valores de $k$.

Para $k = 1$, calcula el determinante de $2(A^t A^{-1})^{2017}$ siendo $A^t$ la traspuesta de $A$.

Descomponer el número 12 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máximo.

Hallar el valor de $k$ para que $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - e^{-x} + kx}{x - \sen(x)} = 2$$

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función real de variable real, continua y derivable en la recta real. Supongamos que $f(0) \neq 0$ y $f(x + y) = f(x)f(y)$ para todo número real $x, y$. Demostrar que $f(0) = 1$; $f(x) \neq 0$; $f(x) > 0$ y $f'(x) = f'(0)f(x)$ para todo número real $x$.

Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange.

Aplicando el anterior teorema a la función $f(x) = \sen x$, pruebe que cualesquiera que sean los números reales $a < b$ se cumple la desigualdad $\sen b - \sen a \leq b - a$.

Discutir, según los valores de $k$, cuándo $A$ tiene inversa y calcularla para $k = 2$.

Para $k = 2$, resolver la siguiente ecuación matricial: $AX + B = AB$.

Calcula los coeficientes $a, b, c \in \mathbb{R}$ de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tal que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 2$ y un punto de inflexión en el punto $P(1, 2)$. Justifica tu respuesta.

Sean los sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A) = 0{,}2$, $P(A \cap B) = 0{,}1$, $P(A \cup B) = 0{,}3$. Calcula: