Practica por temas

Sea $A = (a_{ij})$ la matriz de dimensión $3 \times 3$ definida por $a_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = 2, \\ (-1)^j(i - 1) & \text{si } i \neq 2. \end{cases}$ Explique si $A$ y $A + I$ son o no invertibles y calcule las inversas cuando existan. (Nota: $a_{ij}$ es el elemento de $A$ que está en la fila $i$ y en la columna $j$, e $I$ es la matriz identidad.)

Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x & y \end{pmatrix}$, dé respuesta a los dos apartados siguientes:

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} k & 1 + k \\ 1 - k & 0 \end{pmatrix}$. Determina, si existen, los valores de $k$ en cada caso:

Despeje $X$ en la ecuación matricial $A(X - B) = I$, donde $I$ es la matriz identidad y $A$ y $B$ son matrices cuadradas, con $A$ invertible. Luego, calcule $X$ si $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$

Dadas las funciones $$f(x) = \frac{3x + \ln(x + 1)}{\sqrt{x^2 - 3}}, \qquad g(x) = (\ln x)^x, \qquad h(x) = \sen(\pi - x),$$ se pide: