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Sea la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (x^2 + 1)e^x$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} ax + y + z = 4 \\ (a - 1)x - 3z = 2 \\ y + (a^2 + a + 1)z = 0 \end{cases}$$ dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$

4: Considere la función f(x) = ln(x) / √x, definida para todo valor de x > 0. a) [0,5] Calcule lim_{x→+∞} f(x). b) [1,5] Calcule la integral indefinida ∫f(x)dx. c) [0,5] Determine el valor de a > 0 para el cual se cumple que ∫₁ᵃ f(x)dx = 4.

Dada la función $$f(x) = (1 - x) \cos(\pi x^3)$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (0, 1)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{1}{2}$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.