Practica por temas

Si $a$ y $b$ son números reales arbitrarios, consideramos la función $$f(x) = \begin{cases} a \sen x + b \cos x, & \text{si } x < \frac{\pi}{2} \\ \sen^2 x - a \cos x, & \text{si } x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

Sea $f$ la función real definida por $f(x) = xe^x - 3x$. Se pide la obtención razonada, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, de:

En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a). Un triatleta participa en una competición de SwimRun en la que debe ir desde el punto $A$, situado en la orilla de un canal de agua en reposo de 2 kilómetros de ancho, hasta el punto $B$, situado en la otra orilla del canal y a una distancia de 10 kilómetros del punto $C$ (punto opuesto de $A$), tal y como se indica en la figura. Para ello, debe ir nadando desde $A$ hasta cualquier punto $D$ de la otra orilla del canal y continuar corriendo desde $D$ hasta $B$. El triatleta tiene plena libertad para elegir $D$.

Dada la función $f(x) = 3x^4 + x^3 - 1$, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos y el número total de puntos en los que $f(x)$ se anula.