Practica por temas

Sean $A, B$ y $C$ sucesos de un experimento aleatorio con probabilidades $P(A) = 0{,}3, P(B) = 0{,}4$ y $P(C) = 0{,}5$ tales que $A$ y $B$ son independientes y $B$ y $C$ son incompatibles. Calcular las probabilidades $P(A \cap B), P(A \cap C), P(A \cap \bar{C}), P(A \cup B)$ y $P(\bar{A} \cup \bar{B})$ siendo $\bar{A}, \bar{B}$ y $\bar{C}$ los sucesos complementarios de $A, B$ y $C$ respectivamente.

Da respuesta a los apartados siguientes: a) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcula P(A) si P(B) = 0.8, P(A ∩ B) = 0.2 y P(A ∪ B) es el triple de P(A). b) En un determinado lugar, la temperatura máxima durante el mes de julio sigue una distribución normal de media 25°C y desviación típica 4°C. Calcula la probabilidad de que la temperatura máxima de un cierto día esté comprendida entre 21°C y 27.2°C. ¿En cuántos días del mes se espera que la temperatura máxima permanezca dentro de ese rango?

Consideremos el sistema dependiente del parámetro $t$: $$\begin{cases} tx + y - z = 0 \\ 2ty + z = 1 \\ -x + ty + 2z = 1 \end{cases}$$

Una empresa fabrica cajas de cartón sin tapa, de volumen $4000$ centímetros cúbicos. Se sabe que las cajas tienen su base cuadrada. Hallar la altura y el lado de la base de cada caja para que la cantidad de cartón empleado en fabricarlas sea la mínima posible.

Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} e^{-x} & \text{si } x \leq 0 \\ 1 - x^2 & \text{si } 0 < x < 1 \\ \frac{2}{x + 1} & \text{si } 1 \leq x \end{cases}$$ Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de $f$.