Practica por temas

Sea la función $f(x) = \dfrac{kx}{e^{2x}}$. Donde $k$ es un parámetro real. Se pide: a) Obtener el dominio y las asíntotas de $f(x)$. (3 puntos) b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y sus máximos y mínimos. (5 puntos) c) Justificar que la función siempre se anula en algún punto del intervalo $[-1,1]$. (2 puntos)

Dados los planos $\pi_1: x + y + z = 3$ y $\pi_2: x + y - mz = 0$ se pide:

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ con $m \in \mathbb{R}$. a) Calcular el valor de $m$ para que se verifique la igualdad $A^2 - A = B$. (1 punto) b) Calcular $m$ para que la matriz $A + B - I$ tenga inversa siendo $I$ la matriz unidad de orden 2. (0,75 puntos) c) Para $m=2$ obtener la inversa de la matriz $A + B - I$. (0,75 puntos)

En el espacio tridimensional tenemos el punto y la recta siguientes: $$P(1, -2, 0) ; \quad r \colon \begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}$$

Sean las rectas $r : \begin{cases} x = 1 + y \\ z = 1 \end{cases}$ y $s : \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases}$