Practica por temas

Dados los vectores $\vec{u} = (a, b, 1)$, $\vec{v} = (-3, 4, 1)$ y $\vec{w} = (1, 2, c)$, determina el valor de los parámetros $a, b, c \in \mathbb{R}$ de manera que los vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean perpendiculares y además $\vec{u} \times \vec{w} = \vec{v}$, donde $\vec{u} \times \vec{w}$ denota el producto vectorial.

Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P = (1, -1, 1)$ y tiene como vector director $\vec{v}_r = (1, 2, -2)$. ¿Existe algún valor de $k$ para el cuál la recta $r$ está contenida en el plano $\pi \equiv 2x + 3y + 4z = k$? En caso afirmativo, calcula el valor de $k$.

Escriba las ecuaciones paramétricas de la recta $r$.

Calcule la distancia de $P$ a $r$.

Calcule un plano perpendicular a $r$ que pase por el punto $P$.

Encuentre la ecuación cartesiana (es decir, de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$) del plano que determinan.

Encuentre un punto $S$ perteneciente a la recta $r: \frac{x - 5}{2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 5}{-3}$, de manera que el tetraedro de vértices $P$, $Q$, $R$ y $S$ tenga un volumen igual a $1/2$.

Calcula los valores $a, b$ para que la función $f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 3 \\ \ln(x - 2) & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$ sea derivable en $x = 3$ y determina el punto en el que la tangente a la gráfica de $f(x)$ es paralela a la recta $x + 3y = 0$.

Si $P(x)$ es un polinomio de tercer grado, con un punto de inflexión en el punto $(0, 5)$ y un extremo relativo en el punto $(1, 1)$, calcula $\int_{0}^{1} P(x) \, dx$.