Practica por temas

Considere el sistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas $\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 3 \end{cases} \equiv \mathcal{S}$, cuya solución es el punto $P_0 = (2, -1)$ de $\mathbb{R}^2$. Sea $\mathcal{S}'$ el sistema que se obtiene al añadir a $\mathcal{S}$ una tercera ecuación $ax + by = c$. Conteste razonadamente las siguientes preguntas:

Calcular el área de la región delimitada por el eje $x$ y la función $f(x) = x - \sqrt{x}$.

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = x|x - 1|$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa $x = 0$.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a^2 + a)x + (2a + 1)y + az = 1 \\ (a^2 + a)x + (3a + 3)y + (a + 1)z = 2 \\ (a + 2)y - az = a + 2 \end{cases}$$