Practica por temas

Demuestra que existe $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f(\alpha) = 0$, siendo $$f(x) = \frac{\ln \left[ x - 1 + \sen^2 \left(\frac{\pi x}{4}\right) \right]}{4x - x^2}$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \operatorname{sen}(x) - x e^x}{x^2}$ es finito, calcula el valor de $a$ y el de dicho límite.

Se considera el sistema de ecuaciones lineales que sigue. $$S = \begin{cases} x + y + 2z = 2 \\ \alpha x + y + 2z = \alpha + 1 \\ x + y + \alpha z = 1 \end{cases}$$

En un cine hay 3 salas y un total de 250 espectadores repartidos de la siguiente manera: 100 espectadores en la sala A, 50 en la sala B y 100 en la sala C. Se sabe que la película de la sala A gusta al 80% de los espectadores, la de la sala B al 20% de los espectadores y la de la sala C al 60% de los espectadores. A la salida de las tres películas se elige un espectador al azar.