Practica por temas

Se dan el punto $P = (1, 1, 1)$, la recta $r : \begin{cases} x + y - z + 1 = 0 \\ x + 2y - z - 1 = 0 \end{cases}$ y el plano $\pi : x + y + z = 1$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, las ecuaciones de:

Dada la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$, determina $a$, $b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en $(1,0)$, y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación $y = -3x + 3$.

Según informa la Asociación Empresarial de Acuicultura de España, durante el año 2016 se comercializaron en España doradas, lubinas y rodaballos por un total de $275{,}8$ millones de euros. En dicho informe figura que se comercializaron un total de $13740$ toneladas de doradas y $23440$ toneladas de lubinas. En cuanto a los rodaballos, se vendieron $7400$ toneladas por un valor de $63{,}6$ millones de euros. Sabiendo que el kilo de dorada fue $11$ céntimos más caro que el kilo de lubina, se pide calcular el precio del kilo de cada uno de los tres tipos de pescado anteriores.

Calcule el área del recinto plano limitado por $h(x) = x^3 - x$ y el eje $OX$.

Dadas las rectas $r_1 \equiv \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = -1 + t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$, y $r_2 \equiv \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}$.