Practica por temas

Calcule la ecuación general del plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$, siendo:

Dados el plano $\pi \equiv x - y = 4$ y la recta $$r \equiv \begin{cases} x + z = 1 \\ 2x + y + az = 0 \end{cases} \qquad a \in \mathbb{R},$$

Demuestra que existe $\alpha \in (-1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = -\frac{1}{4}$, siendo $$f(x) = \left[ x^2 + \log(x^2 - 2x + 7) \right]^{\sqrt[3]{\frac{3 - x}{4}}}$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Demuestra que existe $\alpha \in (1, \sqrt{2})$ tal que $f'(\alpha) = 1$, siendo $$f(x) = \ln \left(\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{4} x^2\right)\right)$$

Para guardar el material escolar, se quiere construir una caja (sin tapa) a partir de una plancha de cartón de $48\,\text{cm}$ de largo por $30\,\text{cm}$ de ancho, a la que se le ha recortado un cuadrado de lado $x$ en cada una de sus esquinas (véase el dibujo).