Practica por temas

Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{e^x - 1}$.

Estudiando previamente el signo de la función en el intervalo $[0,3]$, hállese el área limitada por la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 9x$ y el eje de abscisas, cuando $x$ varía en el intervalo $[0,3]$.

Calcule $a$ y $b$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} \ln(x - 1)^2 + a, & \text{si } 3/2 \leq x \leq 2 \\ b \cdot x^2 - 6x, & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}$$ sea continua en el intervalo $[3/2, 4]$ y derivable en el intervalo $(3/2, 4)$.

Para los valores de $a$ y $b$ determinados en el apartado a), calcule los puntos del intervalo $(1, 4)$ donde la pendiente de la recta tangente es 3.

Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{e^x - \cos x}$

Calcular $a$, siendo $a > 1$, para que el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x) = x$, $g(x) = ax$ y $x = 1$ sea $1$.

Calcula $A^{2024}$.

Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica $A^2 X A + I = O$, donde $I$ y $O$ son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.

Demuestra que la función es continua en el intervalo $[1, 3]$.

Demuestra que existe $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f(\alpha) = \frac{3}{2}$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.