Practica por temas

Dada la función $f(x) = Ax^3 + Bx$, sabemos que pasa por el punto $P(1, 1)$ y además que en ese punto tiene tangente paralela a la recta $y = -3x$.

Encuentra los valores de $a$ y $b$ para los que $A \cdot A^t = I_3$ donde $$A = \begin{pmatrix} \cos b & \sen b & 0 \\ -\sen b & \cos b & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix},$$ $I_3$ es la matriz identidad de orden 3 y $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.

Despeje $X$ en la ecuación matricial $A(X - B) = I$, donde $I$ es la matriz identidad y $A$ y $B$ son matrices cuadradas, con $A$ invertible. Luego, calcule $X$ si $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$

Cada día, una planta productora de acero vende $x$ toneladas de acero de baja calidad e $y$ toneladas de acero de alta calidad. Por restricciones del sistema de producción debe suceder que $y = \frac{23 - 5x}{10 - x}$ siendo $0 < x < \frac{23}{5}$. El precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 900 euros y el precio de una tonelada de acero de baja calidad es de 300 euros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Calcular los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} a(x^2 - 9) + \frac{bx}{3} - b, & x < 3 \\ \ln(b(x - 2)), & x \geq 3 \end{cases}$$ sea derivable.