Practica por temas

Compruebe que se cumple la igualdad $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.

¿Es cierta esta igualdad para cualquier par de matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo orden? Responda razonadamente utilizando las propiedades generales de las operaciones entre matrices, sin utilizar matrices $A$ y $B$ concretas.

Calcula: $\begin{vmatrix} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r & -3q \end{vmatrix}$

Calcula: $\begin{vmatrix} x & a - 3p & -2a \\ y & b - 3q & -2b \\ z & c - 3r & -2c \end{vmatrix}$

¿Hay algún valor de $\alpha \in \mathbb{R}$ tal que $A$ no tenga inversa para este valor?

Calcule la matriz inversa de $A^2$ para $\alpha = 0$.

Explique BREVEMENTE (en no más de cinco líneas) cómo se aplica el método de Gauss para calcular el rango de una matriz.

Determine, empleando el método de Gauss, el rango de la matriz $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & 7 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Resuelva el siguiente sistema matricial $$\begin{cases} 2X + 3Y = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \\ 3X - 2Y = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \end{cases}$$

Calcule $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^n, \quad n \in \mathbb{N}$.