Practica por temas

Se dan las matrices $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ y $T$, y se sabe que $T$ es una matriz cuadrada de 3 filas y 3 columnas cuyo determinante vale $\sqrt{2}$. Calcular razonadamente los determinantes de las siguientes matrices, indicando explícitamente las propiedades utilizadas en su cálculo:

Encuentra los tres puntos en que se cortan las gráficas de las funciones $f(x) = x^3 - x$ y $g(x) = \sen(\pi x)$. Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$.

Dado el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + 2y - z = -1 \\ 8x + my - 6z = -8 \\ -x - 2y + m^2z = m \end{cases}$$ con $m \in \mathbb{R}$ un parámetro.

Consideramos la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \cos(\pi x)$, que depende de los parámetros $a, b, c$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Dada la función $f(x) = (x - 1)^2 e^{-2x}$, estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máximos y mínimos.