Practica por temas

Determinar los valores de $a$ y $b$ para que la función $f$ definida de la forma $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + a & \text{si } x \leq 2 \\ -x^2 + bx & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ sea derivable en todo $x \in \mathbb{R}$

Dada la ecuación matricial $$M \cdot X + N = P,$$ donde $X$ es la matriz incógnita y $$M = \begin{pmatrix} -1 & a \\ a & a \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.$$

Queremos construir un marco rectangular de madera que delimite un área de $2\,\text{m}^2$. Sabemos que el precio de la madera es de $7{,}5$ €/m para los lados horizontales y de $12{,}5$ €/m para los lados verticales. Determine las dimensiones que debe tener el rectángulo para que el coste total del marco sea el mínimo posible. ¿Cuál es este coste mínimo?

Las ventas de un determinado producto vienen dadas por el siguiente modelo: $$V(t) = \frac{5t^2}{8 + t^2}, \qquad t \geq 0$$ Donde $V(t)$ son las ventas en miles; $t$ mide el tiempo desde que se inicia la venta del producto, en meses.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ -4 & 6 & m-6 \\ 2 & -3 & m+6 \end{pmatrix}$, con $m \in \mathbb{R}$ un parámetro.