Practica por temas

Sea la función $f(x) = \dfrac{kx}{e^{2x}}$. Donde $k$ es un parámetro real. Se pide: a) Obtener el dominio y las asíntotas de $f(x)$. (3 puntos) b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y sus máximos y mínimos. (5 puntos) c) Justificar que la función siempre se anula en algún punto del intervalo $[-1,1]$. (2 puntos)

Considere la función $f(x) = \sen^2 x$ (tenga en cuenta que el ángulo $x$ se mide en radianes).

Un segmento de longitud fijada $m$ se apoya sobre los ejes de coordenadas. Calcule el valor del ángulo $\alpha$ que forma el segmento con el eje $OX$ para que el triángulo rectángulo determinado por el segmento con los ejes y del cual $m$ es la hipotenusa tenga área máxima. Compruebe que se trata realmente de un máximo.

Se dan las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B$, donde $B$ es una matriz de dos filas y dos columnas que no tiene ningún elemento nulo y que verifica la relación $B^2 = -7B + U$. Obtener razonadamente:

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.