Practica por temas

Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = x^2 \cdot \ln x^2$ que cumpla $F(1) = 0$.

Considera las siguientes matrices: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0 \end{pmatrix}$$

Sea $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Sabemos que la gráfica de esta función es tangente a la recta $r: y = x + 3$ en el punto de abscisa $x = -1$, y que en el punto de abscisa $x = 1$ la recta tangente es paralela a la recta $r$. Calcule el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

Se dispone de una cartulina cuadrada como la del dibujo, cuyo lado mide $50\,\text{cm}$. En cada una de las esquinas se corta un cuadrado de lado $x$ con el fin de poder doblar la cartulina y formar una caja, sin tapa. ¿Cuál debe ser el lado $x$ del cuadrado a cortar para que el volumen de la caja sea máximo?

Sea la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = e^x (x^2 - x + 1)$