Practica por temas

Calcula el valor de $k$ para que $\int_{1}^{3} e^{x-k} (x-2) dx = 2$.

Sea la función $f(x) = \dfrac{kx}{e^{2x}}$. Donde $k$ es un parámetro real. Se pide: a) Obtener el dominio y las asíntotas de $f(x)$. (3 puntos) b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y sus máximos y mínimos. (5 puntos) c) Justificar que la función siempre se anula en algún punto del intervalo $[-1,1]$. (2 puntos)

Determinar todos los números $x \in \mathbb{R}$ para los que el determinante $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{vmatrix}$$ es mayor o igual que cero.

Sea $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$, calcula sus asíntotas, y encuentra la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$. Haz una representación aproximada de la gráfica de la función $f$.