Practica por temas

Determina la función $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $(0, 1)$, $f'(0) = 0$ y $f''(x) = \frac{1}{x+1}$.

Dada la función $f(x) = x^2(x + 3)$, determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.

Se sabe que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = 10$. Calcular de manera razonada, aplicando las propiedades adecuadas, el valor de los siguientes determinantes: $$A = \begin{vmatrix} 2a & 2b & 2c \\ a + p & b + q & c + r \\ -x + a & -y + b & -z + c \end{vmatrix}$$ $$B = \begin{vmatrix} 3p & 3q & 3r \\ 2a & 2b & 2c \\ -x & -y & -z \end{vmatrix}$$

Se definen las funciones $f$ y $g$ por $f(x) = -x^2 + 2x$ y $g(x) = x^2$. Obtener razonadamente:

Dadas las funciones $f(x) = \sen(\pi x)$ y $g(x) = x^3 - x$, encuentra los tres puntos en que se cortan y calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$.