Practica por temas

Se consideran las curvas de ecuaciones $y = x^2$ e $y = \dfrac{x^2}{3}$ y la recta de ecuación $y = x$. **(a) (1,25 p)** Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas. **(b) (1,25 p)** Calcula el área de ese recinto.

Considere el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x - 3y + 2z = -1 \\ -2x + 4z = -6 \\ x - 2y + \lambda z = 0 \end{cases}$$ en finción del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$

Considere la función $f(x)$, que depende de los parámetros reales $n$ y $m$ y está definida por $$f(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{x^2}{4} + n & \text{si } 0 < x \leq 2 \\ \frac{3x}{2} + m & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Enuncia el teorema de Rolle. Encuentra los ceros de la primera derivada de la función $f(x) = x^3 - 12x + a$. Usa finalmente la información previa para probar que, con independencia del valor de $a$, la ecuación $x^3 - 12x + a = 0$ no tiene dos soluciones distintas en el intervalo $[-2, 2]$.