Practica por temas

Se realizaron dos debates electorales, uno el lunes y otro el martes. Se hizo una encuesta a $1.500$ personas para estimar la audiencia, de las cuales: $1.100$ personas vieron el debate del lunes, $1.000$ vieron el debate del martes y $300$ no vieron ninguno. Eligiendo al azar a uno de los encuestados:

Una mujer, que sospecha estar embarazada, acude a la consulta del médico. Al examinarla cuidadosamente, el médico cree que está embarazada con una probabilidad de $0{,}6$. Para confirmar el diagnóstico, el médico encarga un test que da negativo en el $4\,\%$ de los casos que la mujer está realmente embarazada. Mientras que el test da positivo en el $5\,\%$ de los casos en los que la mujer no está embarazada. Calcule la probabilidad de que:

Ciertos síntomas pueden deberse a tres enfermedades diferentes que no se padecen de forma simultánea. Con una probabilidad $0{,}7$ se deben a la enfermedad 1 ($E_1$), con una probabilidad $0{,}2$ a la enfermedad 2 ($E_2$) y con una probabilidad $0{,}1$ a la enfermedad 3 ($E_3$). Existen tres tratamientos diferentes, el A es el adecuado para $E_2$, el B para $E_3$ y el C para $E_1$. Así y todo, cada uno de los tratamientos tiene cierto poder de curación de cada una de las enfermedades. La probabilidad de ser curado con cierto tratamiento cuando se tiene cierta enfermedad viene dada para cada tratamiento y enfermedad por la siguiente tabla. Note que, de acuerdo con la misma, la probabilidad de curarse con el tratamiento A cuando se tiene $E_3$ es de $0{,}4$. ¿Qué tratamiento debemos administrar a un paciente con dichos síntomas, teniendo en cuenta que no sabemos a priori cuál de las tres enfermedades padece?

Sea el sistema de ecuaciones $S : \begin{cases} x - 2y - 3z = 0 \\ 3x + 10y - z = 0 \\ x + 14y + \alpha z = 0 \end{cases}$, donde $\alpha$ es un parámetro real. Obtener razonadamente:

Con el símbolo $\ln x$ se representa el logaritmo de un número positivo $x$ cuando la base del logaritmo es el número $e$. Sea $f$ la función que para un número positivo $x$ está definida por la igualdad $$f(x) = 4x \ln x$$ Obtener razonadamente: