Practica por temas

Determinar los valores de $a, b$ y $c$ sabiendo que la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene extremos relativos en $x = 1$ y $x = -3$ y que corta a su función derivada en $x = 0$. Determinar asimismo la naturaleza de los extremos.

Calcular el límite: $$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{\sqrt{2x - 3} - 1}$$

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de $f$, la recta $y = x - 1$ y la recta $x = 3$. Calcula su área.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 2 + a & 2a \\ 0 & a - 1 & 3a \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}$,

Considere el siguiente sistema:

Sea la función $f(x) = \sen(2x) - x$. Demuestre que la función $f(x)$ tiene exactamente tres ceros en el intervalo $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$. O sea, debe probar que existen exactamente tres valores de $x$ en el intervalo $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ tales que $f(x) = 0$.

Realice un dibujo del recinto limitado por las curvas $y_1(x) = 4 - x^2$, $y_2(x) = x^2$ (4 puntos). Calcule el área de este recinto (6 puntos).

Discuta el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} (k - 1)y + (k^2 - 1)z = 0 \\ (4k + 1)x - y - 7z = 1 \\ x + y + z = 0 \end{cases}$$ en función de los valores de $k$.

Resuelva el sistema para $k = 1$.