Practica por temas

Consideramos las rectas siguientes dependientes de un parámetro $\lambda$: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - 2t \end{cases}, \quad s: \frac{x - 2}{\lambda} = \frac{y}{2\lambda} = \frac{z - 3}{-1}$$

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & k & 3 \\ k & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ donde $k$ es un número real: a) ¿Para qué valores del parámetro $k$ la matriz es invertible? (2 puntos) b) Para $k=0$, si existe, calcular la matriz inversa de $A$. (4 puntos) c) Para $k=0$, hallar las matrices diagonales $D$ que verifican $AD = DA$. (4 puntos)

Estudiar la posición relativa de los siguientes planos en función del parámetro $b$ $$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ x + (1 + b)y - bz = 2b \\ x + by + (1 + b)z = 1 \end{cases}$$

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Considere un movimiento en el espacio tal que a cada punto de coordenadas $(a, b, c)$ lo mueve al punto de coordenadas $(a+b, a+b+c, a+b)$.