Practica por temas

Sabiendo que $AB + I = A$, calcula la inversa de $A$ en función de $I$ y $B$.

Sabiendo que $A$ y su inversa $A^{-1}$ son tales que $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ calcula la matriz $B$ que satisface la igualdad $AB + I = A$. ¿Es $B$ invertible? Justifica la respuesta.

Determina la ecuación implícita del plano $\pi$ que pasa por el punto $P(2, 1, 2)$ y es perpendicular a $r$. Calcula el punto de intersección de $r$ y $\pi$.

Calcula la distancia del punto $P(2, 1, 2)$ a la recta $r$.

Calcula el punto simétrico del punto $P(2, 1, 2)$ respecto a la recta $r$.

Estudiar el rango de $A$ según los valores de $m$.

Para $m = -1$, calcula la solución, si existe, del sistema $$A^t \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ ($A^t$ matriz traspuesta).

Halla el valor de $\alpha$ para el cual $g$ es continua en $x = 0$.

Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange.

Consideremos $\alpha$ igual al valor hallado en el inciso (i) y $g$ la correspondiente función para ese valor de $\alpha$. Utiliza el teorema del valor medio de Lagrange para justificar que existe $c$ que cumple $0 < c < \frac{\pi}{2}$ y $g'(c) = \frac{2}{\pi}$.