Practica por temas

Estudie, en función de los parámetros $a$ y $b$, la posición relativa de la recta $r : \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ y el plano $\Pi \equiv x + y + az = b$.

Para cada una de las posiciones obtenidas, diga cómo es el sistema formado por las tres ecuaciones $$x = 0, \quad y = 0, \quad x + y + az = b.$$

La ecuación del plano que contiene a $P, Q$ y $R$ cuando $\alpha = 1$ y la distancia de dicho plano al origen de coordenadas.

La ecuación de la recta $r$ que pasa por $R$ cuando $\alpha = 1$ y es paralela a la recta $s$ que pasa por $P$ y $Q$. Calculad la distancia entre las rectas $r$ y $s$.

Los valores de $\alpha$ para los cuales $P, Q$ y $R$ están alineados y la ecuación de la recta que los contiene.

Calcule los valores $a$, $b$ y $c$ de manera que las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ cumplan las dos condiciones siguientes: - Se corten en el punto $P(1, 1)$ - En dicho punto coincida la pendiente de las rectas tangentes. Dar las expresiones de las funciones resultantes.

Suponiendo $a = b = 1$ en $f(x)$, halle las asíntotas de la función: $$h(x) = \frac{f(x)}{x^3 - 1}$$

Demuestra que $f$ es continua en $[2, 3]$.

Demuestra que existe un punto $c$ en $(2, 3)$ tal que $f'(c) = 0$. Enuncia el resultado teórico utilizado, y justifica su uso.