Practica por temas

Sea la función continua $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Sean $A$ una matriz $3 \times 3$, $B$ una matriz $3 \times 1$ y no nula, $O$ la matriz nula (cero) $3 \times 1$. Considera los dos sistemas de ecuaciones lineales siguientes: $$AX = B \quad \text{y} \quad AX = O$$ Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. En el caso de que consideres que la afirmación es falsa pon un ejemplo ilustrativo.

Dados los planos: $\pi_1 \colon x - y + 3 = 0$ y $\pi_2 \colon 2x + y - z = 0$, determinar:

Sean $r$ y $s$ las rectas de $\mathbb{R}^3$ que tienen las ecuaciones siguientes: $$r: x + 5 = y - 5 = \frac{z - 3}{2} \quad \text{y} \quad s: \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{-1}$$

Sean $r, s$ las rectas en el espacio dadas, respectivamente, por $$r \equiv \begin{cases} 2x + y + z = 4 \\ x - y + z = 1 \end{cases} \quad s \equiv \begin{cases} x + z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases}$$ Calcula para qué valores de $a$ las rectas se cortan en un punto. Halla dicho punto. Estudia la posición relativa que tienen las rectas para el resto de valores de $a$.