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Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales con un parámetro $k \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} kx + y - 3z = 5 \\ -x + y + z = -4 \\ kx + y - kz = 1 \end{cases}$$

Dados los puntos $O(0, 0, 0)$, $A(2, -1, 0)$, $B(3, 0, x)$ y $C(-x, 1, -1)$, los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$ determinan un paralelepípedo.

Sean el punto $A = (4, 0, 1)$ y la recta $r: \begin{cases} x - 2 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{cases}$

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} ax + (a - 2)y = a - 2 \\ ax + (a^2 - 2a)y + 2z = a \\ 3ax + (a^2 - 4)y + z = 4a - 4 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.