Practica por temas

Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista $$f(x) = \begin{cases} 1 + \sen^2 x, & \text{si } x \leq 0 \\ \sqrt{x^3 + 1}, & \text{si } 0 < x < 1 \\ e^{x^2 - 1}, & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$

Sean las rectas de $\mathbb{R}^3$ $r: \begin{cases} 2x - y = 1 \\ y - 2z = 0 \end{cases}$ y $s: x + 1 = \frac{y - 2}{2} = z - 1$.

Sea la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$f(x) = \begin{cases} e^x(x^2 + ax) & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{bx^2 + c}{x + 1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Calcula las constantes $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $f$ es derivable y que la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$ tiene pendiente $3$.

Discute y resuelve, según los valores de $a$, el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + (1 + a)y - az = 2a \\ x + 2y - z = 2 \\ x + ay + (1 + a)z = 1 \end{cases}$$

Dadas las rectas: $$r \equiv \begin{cases} 2x + y - z = -2 \\ x - 2y = -1 \end{cases} \qquad s \equiv \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{-3} = \frac{z - 1}{2}$$ se pide: