Practica por temas

Considera los puntos $A = (1, 1, 0)$, $B = (0, 1, 1)$, $C = (-1, 0, 1)$ y el origen de coordenadas $O$.

Se dan los planos $\pi: x + y = 1$ y $\pi': x - y + z = 1$ y el punto $P(1, -1, 0)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Encuentra la ecuación general del plano $\pi$ que contiene a la recta $$r \equiv \begin{cases} 3x + 3y - 2z - 2 = 0 \\ x - y - 2z = 0 \end{cases}$$ y es paralelo a la recta $$s \equiv \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{2}$$

a) Dados los vectores $\vec{u} = (2,1,0)$, $\vec{v} = (5,0,1)$ y $\vec{w} = (a,b,1)$, calcular $a$ y $b$ para que $\vec{u}$ y $\vec{w}$ sean perpendiculares y además los tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente dependientes. (1 punto) b) Calcular el volumen del paralelepípedo que forman $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{z} = (1,2,1)$. (1 punto)

Dado el punto $P(1, 0, 0)$ y la recta $$r \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = -1 \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$