Practica por temas

Enunciar el teorema de Rolle.

Indicar un punto en el que la función $f(x) = 2x - \sen x$ tome el valor $0$, y demostrar (o bien usando el teorema del apartado previo o bien con algún otro razonamiento) que esta función sólo se anula en ese punto.

Halle los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$ para los que la matriz $A$ tenga inversa.

Halle, si existe, la inversa de la matriz para $\lambda = 1$.

Halla $\det(-3A^t)$ y $\det \begin{pmatrix} 2b & 2a \\ -3d & -3c \end{pmatrix}$. Indica las propiedades que utilizas ($A^t$ es la matriz traspuesta de $A$).

Calcula $\det(A^{-1} A^t)$.

Si $B$ es una matriz cuadrada tal que $B^3 = I$, siendo $I$ la matriz identidad, halla $\det(B)$.

Sea el tetraedro cuyos vértices son los puntos $A = (a, 0, 1)$, $B = (1, 3, 0)$, $C = (0, 1, 0)$ y $D = (1, 1, 1)$, con $a \in \mathbb{R}$. Halla los valores de $a$ para que el volumen de dicho tetraedro sea $1$.

Enuncia el teorema de Bolzano. Utiliza este teorema para razonar que la función $$f(x) = (2e^x - 8x - 3) / (x^2 + 2)$$ corta al eje de abscisas al menos una vez.