Practica por temas

Determine el rango de la matriz $A$ siguiente, según los diferentes valores del parámetro $k$. $$A = \begin{pmatrix} k & 0 & k \\ 0 & k + 2 & 0 \\ 1 & 1 & k + 2 \end{pmatrix}$$

Determine la inversa de la matriz $A$ anterior cuando $k = 1$.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, resuelva la ecuación matricial $A^2 X = A - 3I$, en la que $I$ es la matriz identidad.

Una matriz cuadrada $M$ satisface que $M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0$, en la que $I$ es la matriz identidad. Justifique que $M$ es invertible y exprese la inversa de $M$ en función de las matrices $M$ e $I$.

Resuelva el siguiente sistema matricial $$\begin{cases} 2X + 3Y = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \\ 3X - 2Y = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \end{cases}$$

Calcule $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^n, \quad n \in \mathbb{N}$.

Determina, según los valores de $k$, el rango de las matrices $A$ y $B$.

Para el valor $k = 0$, determina las matrices $X$ que verifican $ABX = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.