Practica por temas

Si el producto de dos matrices cuadradas $A$ y $B$ es conmutativo, es decir que $AB = BA$, entonces se deduce que $A^2 B^2 = (AB)^2$.

Que la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 10 \\ 0 & -3 & 7 \end{pmatrix}$ satisface la relación $A^2 - 3A + 2I = O$, siendo $I$ y $O$, respectivamente, las matrices de orden $3 \times 3$ unidad y nula, (4 puntos), y que una matriz $A$ tal que $A^2 - 3A + 2I = O$ tiene matriz inversa. (2 puntos)

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, los valores $\alpha$ y $\beta$ tales que $A^3 = \alpha A + \beta I$, sabiendo que la matriz verifica la igualdad $A^2 - 3A + 2I = O$.

Despeja $X$ en la ecuación matricial $A \cdot X - A = 2A^2$, donde $A$ y $X$ son matrices cuadradas de orden 3.

Calcula $X$, siendo $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Calcula los determinantes de las matrices $A^{101}$ y $A^{1000}$.

Calcula $A^{10}$.

Calcula, si es posible, la matriz inversa de $I + A + A^2$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 3.