Practica por temas

Demuestra que existe $\alpha \in (0, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 1$, siendo $$f(x) = \sen \left(\frac{\pi + \pi x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) \cdot \ln (2 e^x + 2 x - x^2)$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Discuta, en función del parámetro $b$, el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} 3y + bz = b - 2 \\ bx + by = 1 \\ -x + z = b - 3 \end{cases}$$ (no es necesario resolverlo en ningún caso).

En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a). Un triatleta participa en una competición de SwimRun en la que debe ir desde el punto $A$, situado en la orilla de un canal de agua en reposo de 2 kilómetros de ancho, hasta el punto $B$, situado en la otra orilla del canal y a una distancia de 10 kilómetros del punto $C$ (punto opuesto de $A$), tal y como se indica en la figura. Para ello, debe ir nadando desde $A$ hasta cualquier punto $D$ de la otra orilla del canal y continuar corriendo desde $D$ hasta $B$. El triatleta tiene plena libertad para elegir $D$.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro $a$ $$\begin{cases} ax + 2y + 6z = 0 \\ 2x + ay + 4z = 2 \\ 2x + ay + 6z = a - 2 \end{cases}$$ En caso de existir, encontrar la solución para el caso $a = 0$.