Practica por temas

Determina la función $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $(0, 1)$, $f'(0) = 0$ y $f''(x) = \frac{1}{x+1}$.

Calcula $\int_0^\pi x \operatorname{sen}^2(x) dx$.

Sea la función $$f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 6}$$

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} x - y - z = 0 \\ 2x + (2a - 1)y + (\sqrt{2} - 2)z = 2 \\ -ax + ay + 2a^2z = \sqrt{2} \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.