Practica por temas

Una vez llegados al punto deseado de la superficie del mar, llamémosle O, sumergieron un dispositivo verticalmente $315\,\text{m}$ (véase la figura). Seguidamente, este se desplazó $37\,\text{m}$ sobre la recta $$\begin{cases} x = 0 \\ 35y + 12z = -3780 \end{cases}$$ hasta alcanzar la profundidad deseada. Calcula el punto donde se situó el dispositivo después de este movimiento considerando el punto O el centro de referencia (el origen de coordenadas).

¿Si queremos mantener la profundidad deseada ($350\,\text{m}$), sobre qué plano se debe desplazar el dispositivo?

Se deja que el dispositivo se desplace libremente sobre el plano calculado en el apartado b) y se va monitorizando desde el barco. Con un GPS se ha detectado, desde el barco, la presencia de un objeto (posiblemente un pez) que se desplaza en línea recta sobre la trayectoria $$\begin{cases} x = 5 + 4\lambda \\ y = 10 + \lambda \\ z = -380 + 10\lambda \end{cases}$$ Si dicho objeto no cambia su trayectoria, ¿podría chocar contra el dispositivo? En caso afirmativo, ¿en qué punto podría ocurrir la colisión?

Discuta para qué valores de $a$ el sistema siguiente es compatible: $$\begin{cases} a \cdot x + y + 2z = 1 \\ 2x - 2y = 0 \\ a \cdot x + y - z = 1 \end{cases}$$

Resuélvalo en el caso (o los casos) en que sea compatible.

Calcula en función del parámetro $k \in \mathbb{R}$ el rango de la matriz $A$.

¿Existe algún valor de $k \in \mathbb{R}$ para el cual el sistema $A \cdot X = O$ sea incompatible?

¿Para qué valores de $k \in \mathbb{R}$ el sistema $A \cdot X = O$ es compatible indeterminado?

Estudie su compatibilidad según los valores del número real $a$.

Resuélvalo, si es posible, cuando $a = -2$.

Calcular el siguiente límite: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}}}.$$

Demostrar que la ecuación $4x^5 + 3x + m = 0$ sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número $m$. Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan.