Practica por temas

Sean el punto $P = (1, 2, -2)$ y la recta $r : \begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} k + 1 & 1 & 1 \\ 0 & k - 2 & 1 \\ 0 & k - 2 & -k \end{pmatrix}$

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a - 1 \\ 1 & a & 1 \\ 4 & 3a & 1 \end{pmatrix}$, en la que $a$ es un parámetro real.

Cierta fundaci´on ha destinado 247 000 euros para la dotaci´on de 115 becas de estudios. El importe de cada beca es de 3000 euros, si el estudiante cursa un grado universitario; de 2000 euros, si cursa formaci´on profesional y de 1500 euros, si realiza estudios de postgrado. Sabiendo que la fundaci´on ha concedido doble n´umero de becas de formaci´on profesional que de postgrado, ¿cu´antas becas ha concedido a cada nivel de estudios?

Sean $\pi$ el plano que pasa por los puntos $A(2, 3, 4)$, $B(3, 1, 2)$, $C(5, 1, 2)$ y $r$ la recta que pasa por los puntos $D(6, -5, -4)$, $E(7, 1, 4)$.